キラキラ輝くクリスマスにぴったりの結晶群のおはなし

この記事は、日曜数学アドベントカレンダーの10日目の記事です。

www.adventar.org

 

いつも素数大富豪の分析など、とっても楽しい記事を書いて下さる
二世さんからバトンを引き継ぎました!

二世さん、いつかぜひお会いしたいです!^^

nisei.hatenablog.com

 

こんな風に素敵に引き継いでくださったのですが・・・

日曜数学アドベントカレンダー、明日はHaru Negamiさん(数学カフェさん?)の「キラキラ輝くクリスマスにぴったりの結晶群のおはなし」だそうです!おもしろそう!


酷い風邪を引いて、寝込んでしまい、
キラキラどころかゼハゼハしております。。。汗

ひとまず本日は、概要のみで失礼させていただき、
後ほど追記します!すみません。。。

それでははじまりはじまり〜。

目次

・群と対称操作
・結晶の種類
・なぜこの研究が重要か

 

群と対称操作

 

さて。改めまして本日は、「結晶群」をテーマにして記事を書こうと思います。

 

結晶って、雪の結晶、とかの結晶???

f:id:haru_negami:20161202001622j:plain    ふわふわ.

 

結晶と…群?!どう関係があるの???

と思われる方も多いと思います。

 

結晶とは。

結晶 - Wikipedia

結晶(けっしょう、crystal)とは原子分子が空間的に繰り返しパターンを持って配列しているような物質ある。

 

ふむふむなるほど。 

そういえば中学や高校で、塩の結晶やミョウバンの結晶など、

沢山学びましたね!

 

 

こうした結晶の構造を理解することは、

なんと生物学の分野でもとても重要な課題です。

 

たとえば、体の中にある分子は、

そのままでは形を測定するのは難しいのですが、

結晶化して規則的に分子を並べることによって、

X線による構造解析*1を可能にします。

 

はるさんもよく夜なべして、500個くらいサンプルを仕掛け、

タンパク質の結晶を作っていました。

 

 

 

 

さて、その結晶が、数学に登場する「群」と、

どのように関係するのでしょう?

 

 

ある物理・化学・生物現象を数理モデルにする際には、

その現象にどんな規則があるかを知ることが重要です。

そして、その規則はどんな数学で記述できるのかを考え、

式に落とし込みます。

 

結晶は、最初の定義で述べた通り、

「原子や分子が空間的に繰り返しパターンを持って配列しているような物質

即ち、空間的な繰り返しパターンを記述する数学的概念が求められます。

それこそがまさに、「群」なのです。

正確に言うと、群の中でも合同変換群によって、

平面や空間の繰り返しパターンを記述することができます。

 

 

繰り返しパターンがある、ということは、

ある1つの繰り返し単位と合同なものが多数生成されるような

変換(操作)が存在するということを意味します。

 

平面(2次元ユークリッド空間)の合同変換は、

以下の3種類に分類することが出来ます*2

 

 

定理1
ユークリッド平面の合同変換は、平行移動、回転移動、並進鏡映のいずれかである。

 

 

さて、群とは、次の3つを満たす、集合 G と二項演算 μ の組のことをいいます。
(二項演算とは、2つの値から、新たな値を作るような計算方法のことです。)

ものの集まり G だけでは、グループの要素同士の関係性はわかりませんが、
二項演算 μ を加えることで、要素同士の関係性を定めることが出来るのです。


では、定義を見てみましょう。

 

群 (数学) - Wikipedia

 

1. (結合法則

任意の G g, h, k に対して、μ( g, μ(h, k)) = μ( μ(g, h), k) を満たす:

{\displaystyle (\forall g,h,k\in G)[\mu (g,\mu (h,k))=\mu (\mu (g,h),k)].}

2. (単位元の存在)

μ(g, e) = μ(e, g) = gG のどんな元 g に対しても満たすような G の元 e が存在する:

{\displaystyle (\exists e\in G)(\forall g\in G)[\mu (g,e)=\mu (e,g)=g].}

このような e は存在すれば一意であり、G単位元という。

 

3. (逆元の存在)

G のどんな元 g に対しても、μ(g, x) = μ(x, g) = e となるような G の元 x が存在する:

{\displaystyle (\forall g\in G)(\exists x\in G)[\mu (g,x)=\mu (x,g)=e].}

 

 

平行移動、回転移動、並進鏡映という各々の操作を群 G の元とみなし、
二項演算を操作の繰り返しと定めます。


その組み合わせをうまく取ると、

・1の結合則を満たし、

・何もしない、という操作を単位元とすることができ、

・各操作に対して、それを元に戻すような操作を逆元としてGの元に含み、

群とすることができます。

 

この、うまく取るときの取り方によって、

様々なパターンの結晶の構造を表すことが出来るのです。

 

 

 

結晶の種類

 

さて、先程、操作をうまく取ると書きました。

様々な結晶が、どんな操作の組合わせで表せるのか、

次に書いていきたいと思います。

 

1. 塩の結晶

こちらの図を御覧ください。

 

f:id:haru_negami:20161203021808p:plain

塩の正体:いろいろな結晶|世界の塩・日本の塩|たばこと塩あれこれ|たばこと塩の博物館

 

3次元のユークリッド空間上で、1つの点が3つの方向に平行移動しているほか、様々な対称性が存在します。下図に示される青い部分が基本領域です。この基本領域が繰り返えされ、結晶の構造を作ります。

 

f:id:haru_negami:20161210184135j:plain

 引用元:

結晶群 (共立講座 数学探検 7)

結晶群 (共立講座 数学探検 7)

 

 

 

具体例を1つ書いたところで、筆者は力尽きました。。
 

f:id:haru_negami:20161210193252p:plain

 

 

なぜこの研究が重要か

 

さて、こうした、結晶構造を群論で表すことに、

どのような意義があるのでしょうか?


今後様々な研究の方向性が考えられますが、
私は、マクロな物質のふるまいを数式で表せるようになる
ということにあるのではないかと考えます。

 

たとえば2015年に出た論文には次のようなものがあります。

 

Orbits of crystallographic embedding of non-crystallographic groups and applications to virology

Reidun Twarock et al.

https://arxiv.org/pdf/1411.2115v4.pdf

 

この論文は、非結晶学的対称性を持つ物質の構造について、
結晶学的対称性の分野で得られた知見を応用しようと試みており、
具体例としてウィルスを挙げています。

非結晶学的対称性を持つ物質としては、
2011年にノーベル賞受賞となった準結晶などがあります。

参考:

http://www.edalabo.iis.u-tokyo.ac.jp/homepage_quasicrystal.pdf


このようにして、自然界に現れる結晶の構造や非結晶学的対称性についても数式で表すことが出来るようになれば、まだまだ研究の進んでいない生物の分野などにおいても、その性質が数学的に理解できるようになるかもしれません。

まだまだ研究は途上ですが、今後がとても楽しみな分野です!


今後体調が回復し次第、

・不連続群の幾何構造

・オービフォールド

・平面結晶群の分類定理の証明

・幾何構造からみた結晶群

・最近の研究成果

 

について追記します。
次回12/23にも担当があるので、そのときにも追記分を告知させてください。


さて!明日は可愛い可愛い妹の誕生日…ではなくて、

伊藤那由多さんによる、【巨大数(ふぃっしゅ数とは言ってない)】です!

 

巨大数は、ロマンティック数学ナイト((

ロマンティック数学ナイトはクリスマスイブに開催らしいぞ!

romanticmathnight.org

 カップルで行くと、グッズがもらえるらしいぞ!

 

))にて漫画家の小林銅蟲さん*3が発表され、その存在を知りました。とても驚きがいっぱいの概念です!

 


どんな記事になるのでしょうか??楽しみです!(´∀`*)

 

それではまた〜。

www.adventar.org



 

 

*1:

X線解説装置の原理とその応用が気になる方はこちらなど。

 

www.jaima.or.jp

 

DNAが二重らせん構造を持つことも、このX線構造解析により明らかにされました。

論文はフリーで読めます!

www.nature.com 

*2:3次元のユークリッド空間の合同変換は、らせん移動、並進鏡映、回転鏡映の3つです。

*3:小林銅蟲さんのツイッター

twitter.com

個人の仕事の進捗管理をモデル化してみる(案)

仕事が多すぎる!!!!(ノД`)シクシク

まぁ、自分で決めているんですが。。。

 

うまくこなせるように、管理体制を作りたいです。

実際仕事でも、部門全体のプロジェクトの進捗管理のシステムを作ったので、

個人でも出来るはず!!!!きっとできる。

 

案を考えてみます。繰り返しトライしてみよう。

 

目次

 

 

まず、必要なプロセスは下記の通り。

f:id:haru_negami:20161204112535p:plain

 

1. 仕事の構造化

基本的な手順としては、プロジェクト単位で仕事をリストアップしたあと、
各々について、GTDを用いて仕事をTODO化。
仕事の依存関係や移動ルートを元に作業の順番を整理する。

ツールは何を使うかが問題だ…。

 

a. プロジェクトの全体像把握

全体像を把握するのにどんなツールを使えばよいか。。。
付箋に書き出していけばいいか。
プロジェクト一覧なるものを作成して、新しい仕事ができ次第追加、
終わり次第削除という感じにする。
どのスパンで実行するかは検証する必要がある。

プロジェクト一覧を振り返る意義としては、
引き受けるべき仕事の評価をすることができるという点。
あと、重要なものに注力できているかどうかがわかる点。

この二点について評価できるような項目を作成する必要がある。

一覧には2つの評価項目をつけて、エクセルで定量的に評価するのが良さそうか。

b. 仕事の TODO 化

仕事のTODO化は各プロジェクトごとにGTDによって実施する。
TODOは毎日変化する可能性があるので、毎日振り返る。
手帳の各ページの実施する日にタスクを貼る。
計画通りに達成できたかどうか、週ごとにTODOの達成度を記録する。

c. TODO消化の順序決め

より重要なものや、
外部との連携があるものから先に記入する。(制約条件)
その他は、場所などの条件を加味して効率よく動けるように設計する。

 

 

2. 時間の見積もり

a. 使える時間の把握

特に、休む時間も考慮に入れる。
大体どれくらいの負荷の仕事に対してどれくらいの休息が必要なのか概算する。
休息の時間や人とあって元気出すのも定期的にタスク化する。

b. スケジュール決定

スケジュールは、一週間単位で考える。
(多少の変動に対応するため。)

 

3. 実施

a. 実施

毎朝TODOを確認して実行する。

b. 記録

毎日の記録は、Dailyの欄に。
週ごとにWeeklyの手帳に大まかな時間と達成したタスクの割合や遅延度合いを書く。

4. 評価

a. 遅延評価(結果分析)

遅延度 = Σ計画から遅れた日数×重要度

b. 品質評価(原因分析)

考えてみたが品質評価はどうしたら標準化できるか、
少し時間がかかりそう。
ここでいう品質評価とは、仕事の仕方という意味での品質としよう。

即ち、段取りが悪くて手戻りした場合の仕事の仕方は品質低い、
手戻りなく効率的に仕事出来た場合、その仕事の仕方は品質が高い。

各プロジェクトごとに、

上手く行った、よくできなかった、
各プロセスのどこが悪かったか

を記録する。これは定性分析かな?
データが集まってくると、私の傾向が見えてくるかも。

 

c. 改善案構築

a, b のプロセスで傾向が見えてくると思うので、
まず b を見て弱点克服→ a をみて、改善状況チェック
としますか。

ではこれでエクセルシート作ります。

 

 

数学系記事アウトプット・スケジュール(12/9進捗)

完全なるメモですが、毎日何かしら書くということで。

 

12/1

今日は「結晶と群」について書きました。

 

1632文字。時間は50分。

これをあと6章くらいやるから、

結構充実した記事になりそう!

 

12/2

今日は、数学カフェの方のブログ1記事(12/4UP)

を結構書いて時間が取られたので、

結晶の具体例については1例のみ。

1876字。時間は30分。

 

12/3

昨日は、熊本への移動で疲れて書けず。

スケジュールには余裕を持たねば...。

早く寝たので早めにシャキーンとしたので、

今からまた書きます。(>_<)


12/4-5

熊本滞在。
全く執筆の余裕なく。その分ほかの仕事ができたので良しとする。

12/6-9

風邪でダウン。

 

数学系記事アウトプット・スケジュール

色々とアドベントカレンダーも書かないといけなくて大変。

ちょっとスケジュールを考えてみます。

 

今月書くアドベントカレンダー、3つ。

 

奇遇ですね。私もです。

(数学カフェの方は私がもっちょ様にご依頼申し上げたんですが・・・汗)

 

12/2 数学カフェ

12/4 数学カフェ

12/10 日曜数学会(結晶群)

12/16 数学カフェ

12/19 素数大富豪(自分なりの楽しみ方)

12/23 日曜数学会(仕事とリズムその2)

12/24 数学カフェ

 

えっ?!私のスケジュール、詰みすぎ!?

まぁ、数学カフェ関連のは数学系の記事じゃないから

ひと記事30分もあればなんとかなるけども。

 

日曜数学会、素数大富豪の方は、

この機会なので何かアウトプットを新たに作って書こうかなと。

 

そんなわけなので、スケジューリング必須。。。

 

テーマとしては、

1. 結晶群

2. 仕事とリズム×ゲーム理論(前に話したことの発展)

3. 素数大富豪の楽しみ方?!

 

それぞれについて、どんなスケジュールで書こうかなぁと。。。

 

1. 結晶群

結晶群の記事は、自分にとって大事な学習の一環ということで、

力を入れて書きたいです。

章立てをして、各々、今から少しずつ書き進めようかなぁと。

a. 結晶群とは?

・群と対称操作(12/1)

・結晶の具体例(12/2)

b. 結晶群と幾何構造

・不連続群の幾何構造(12/3)

・オービフォールド(12/4, 5)

・平面結晶群の分類定理の証明(12/6,7)

・幾何構造からみた結晶群(12/8,9)

 

くらいのスケジュールで書きたいなぁ…。

図をどうやってきれいに描くかが問題です。

 

参考文献これにしよ。

www.kyoritsu-pub.co.jp

 

 

2. 仕事とリズム

これについてはシミュレーションもしつつですが、

6月の日曜数学会でやりかけだったシミュレーションを再度動かして、

結果をまとめる、といったプロセスが必要。

 

結果は早めに分かっていたほうがいいので、

a. 戦略の選定

・文献サーベイ(12/5, 6)

・モデルの定式化(12/5, 6)

b. シミュレーション&考察1回目(12/7-9)

・合間にちょろちょろ予備計算を繰り返す

c. シミュレーション&考察2回目(12/12-15)

・大規模計算

d. まとめ(12/23)

・一気に記事書く

 

て感じでしょうか・・・。

 

3. 素数大富豪

 

頭のなかで考えていることをまとめるのって

結構時間かかるわけなのですが・・・。

 

a. 草案文章化(12/15, 16)

問題設定(どんな遊び方なのかの説明)

効用

色んな戦略あれこれ

b. レビューを受ける(12/17, 18)

17, 18日に数学関係の人と会うからね

c. 文章アップ(12/19)

トランプの画像ゲットしておかないと。

 


という感じですかね。

 

うまくまわりますように…。。。

 

女性向け数学講座の2つの案

今、数学カフェで女性向け数学講座をやろうかと思っています。

 

 

内容の方針は今のところ二通り。

 

  1. 実用的なことを学ぶことを念頭において、必要な数学の解説
  2. どこに活かされるのかを解説しつつ、大学数学の基礎

 

どちらも面白そうです。

  1. の案1つ目:
    トポロジカル・データ・アナリシスをテーマに取り、
    ・背景の数学の解説(代トポ)
    ・最終的なアウトプットとしてPython ライブラリーを使ったデータ分析
    ・結果の考察
    という風にしたいなぁと。代数的トポロジーに絞って説明できる。

    使うのはこのあたりとか。

    cytoscape.org



    ふたつ目:
    金融関連の動向予測の数理モデルをテーマに取って
    ・背景の数学の解説(位相・測度論・確率統計等)
    ・モデル作り
    Pythonを使ったシミュレーション
    かな?

  2. の案だと幾つか出来ることはあって、
    集合・位相、解析入門
    代数学代数学の全体像)
    群論シローの定理くらいまで)
    環論(代数幾何イントロ?)
    体論(ガロア理論とか)
    微分幾何

    など?


平日20時から2時間程度、毎週開催、くらいの感じにしようかな。。。

などなど考えています。

編み物で作成可能かどうかの判定法の案1

昨日、genus 2 の曲面づくりに挑戦している話を書きました。

 

haru-math.hatenadiary.jp

 

f:id:haru_negami:20161128010752p:plain

 

こんなのね。(引用:Genus-2 surface - Wikipedia


8の字の下の部分から編み進めていこうかなぁと思ったら

どうも想定と違う部分に歪みが出てしまいました。(図1)

 

f:id:haru_negami:20161128005954j:plain

図1. 20161127_g2

 

改善方法案としては3つ。

  1. uの字型(genus1)のチューブを2つ作って、
    それらを穴が4箇所空いたものに縫い合わせる。
  2. 8角形を作成して縫い合わせる(図2)
  3. 同じストラテジーで歪みが無いように設計する。

昨日は2番を提案したのですが、

改めて、3について検討してみようかなぁと。

つまり、3の方法では作れない/ 作れるということの証明に挑戦してみようかなと。

 

で、本日はその証明の方針について考えてみました。

プロセスは以下のように考えてみました。

 

仮定

  1. ひと目編むごとに、下記の方法で3角形が作れるとする。

    a. ひと目につきひと目増やす場合は、それによって作成される4角形を、
     3角形に分割する。
     ・元々ある辺と上の段の編み始めの点で1つ、
     ・編み進めた一辺と元々ある辺の編み進めた先の方にある点で1つ
    b. ひと目につき複数目増やす/ 減らす場合は、多い方の目1つ分を辺とし、
     減らしたほうの目を1つの頂点につぶして3角形を作る。

  2. 作成される3角形はとなりの3角形と一辺を共有する

  3. 隣り合う3角形の二面角が π/2 以下となるときに、滑らかでないと判定する。


方針

  1. 特定の操作によって取りうる2面角の範囲を求める。
  2. 作成したい曲面(至る所滑らかなもの)を式で表す
  3. 方法3のようにして生成される編み物の曲面(3角形の集まり)によって、作りたい曲面が出来るか否か判定する。


懸案事項

  1. 一箇所の操作が大域的な幾何的特徴にどう影響をあたえるか?
    (局所的な構造の集まりだと考えれば十分、ではなさそう。)
  2. 特定の操作によって取りうる2面角の範囲を求める。←まだ考えていない。


こんな感じで出来るかな???

続きはまた明日。

 

 

genus 2 の曲面を編もうとして直面した課題1

さて、昨日の記事で、

編み物でトーラスの制作に成功した話を書きました。

 

haru-math.hatenadiary.jp

 

$$genus\ 0$$

 

f:id:haru_negami:20161127021643j:plain

 

$$genus\ 1$$

f:id:haru_negami:20161127021706j:plain

 

そしたら次に作る二次元の閉曲面は $$genus\ 2$$ だろうと思い、

計画を立てました。

 

例 

f:id:haru_negami:20161128010752p:plain

 

引用:

blogs.ams.org

 

 

 

モース理論を念頭に置いて、

下のように編んでいけばいいのではないかと考えました。

 

↑8

 

矢印は、編む方向。



だけれども甘かった。

 

まず0セル(点)からスタートして円盤を作り、

ある程度進んだところで1セル(言わば線)を付与して輪っかを2つにし、

枝分かれを作っていこうと考えました。(この場所が鞍点*1になります。)

 

そんなふうにしてちょうど鞍点 (saddle point) のところまでを編んで問題発生。

 

f:id:haru_negami:20161128005954j:plain

 

編み物は、曲面上一方向に向かって

滑らかに曲面を広げていくようにして作成しますが、

上記の方法では、鞍点において編む方向を切り替える必要が生じてしまい、

滑らかになるように作成できなくなってしまいます。

 

できれば至る所なめらかな物を作りたい…。

 

ということで、

また違った設計図を試してみようと思います。

 

できれば縫い合わせの回数は少なくしたい。。

8角形の貼り合わせで出来るかな?

 

f:id:haru_negami:20161128012957p:plain

引用:http://www.map.mpim-bonn.mpg.de/2-manifolds

 

なめらかになるような設計図が書けるかどうか、

今度考えてみます。

 

それではまた明日〜。

 

 

*1:多変数実関数の変域の中で、ある方向で見れば極大値だが別の方向で見れば極小値となる点