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8日目。射影代数多様体 1/2

今日は、1.1アファイン多様体の復習と1.2 射影多様体の前半を勉強しました。

本当は1.1の演習問題をクリアしたかったのですが

現状、その他の参考図書等へのアクセスがないのと、

射影多様体の議論との類似性を見ながら進めたほうが

わかりやすいのではないかと考えて、

一旦 pending しています。

 

さらに当然ながら(?!) 1.3 では
アファイン多様体と射影多様体の間の射を考えるようで

まずは 1.3 までざっと読んでから、

繰り返し1.1-1.2に習熟するようにしたほうが

理解が進んで良いのではないだろうかと考えています。

 

 

さて、1.2 射影代数多様体について。

かなり(私の気持ちは)盛り上がってきました。



この節の前半は、射影多様体の定義について、

後半は、全ての射影多様体はアファイン多様体による開被覆を持つこと、

を示しています。

 

今日はその前半について勉強しました。

 

射影多様体の定義については、

射影空間の中で考えることを除けば

アファイン多様体の定義と同様に議論を進める

 

ということで、基本的な議論の流れは

1.1のアファイン多様体と同様です。

(ただし、次数つき環の理解が+アルファで必要で、

こちらの部分はまだ理解が不十分なので、

また日を改めて勉強することとしました。)

 

 

射影 n 空間 P_n(※ここではそう書きます)は、

 

アファイン n+1 空間を A_(n+1)として

A_(n+1) -{(0,...,0)}

において、原点を通る同じ直線上に乗っている点を同一視するという

同値関係による商だそうです。

 

確かに、

ある図形の形状が同じものを同一視した議論ができたら嬉しいな、

と思うので、この拡張は自然に感じます。(上から。)

 

このような定義によって生まれる様々な性質は

演習問題に掲載されているそうなので、

一旦今日はここまでで。。。

 

すみません。。

日々の勉強の記録だとどうしても浅くなってしまうな。。。

 

 

ちょっと雑談ですが、

この射影空間に関連する英単語が非常に理解を助けてくれます。

アファイン空間における座標(ある点の各成分)は、cooridinatesと呼ばれる一方で、

射影空間の点Pにおいて、同値類Pに入っている任意のn+1個の組 (a0, ..., an) は

set of homogenous coordinates for P

と呼ばれます。

 

日本語だとそれぞれ、座標、斉次座標、なのですが、

【斉】っていう感じのイメージが私にはわかりにくく。

homogenous と言われると、なるほど!と思いますね。