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編み物で作成可能かどうかの判定法の案1

昨日、genus 2 の曲面づくりに挑戦している話を書きました。

 

haru-math.hatenadiary.jp

 

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こんなのね。(引用:Genus-2 surface - Wikipedia


8の字の下の部分から編み進めていこうかなぁと思ったら

どうも想定と違う部分に歪みが出てしまいました。(図1)

 

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図1. 20161127_g2

 

改善方法案としては3つ。

  1. uの字型(genus1)のチューブを2つ作って、
    それらを穴が4箇所空いたものに縫い合わせる。
  2. 8角形を作成して縫い合わせる(図2)
  3. 同じストラテジーで歪みが無いように設計する。

昨日は2番を提案したのですが、

改めて、3について検討してみようかなぁと。

つまり、3の方法では作れない/ 作れるということの証明に挑戦してみようかなと。

 

で、本日はその証明の方針について考えてみました。

プロセスは以下のように考えてみました。

 

仮定

  1. ひと目編むごとに、下記の方法で3角形が作れるとする。

    a. ひと目につきひと目増やす場合は、それによって作成される4角形を、
     3角形に分割する。
     ・元々ある辺と上の段の編み始めの点で1つ、
     ・編み進めた一辺と元々ある辺の編み進めた先の方にある点で1つ
    b. ひと目につき複数目増やす/ 減らす場合は、多い方の目1つ分を辺とし、
     減らしたほうの目を1つの頂点につぶして3角形を作る。

  2. 作成される3角形はとなりの3角形と一辺を共有する

  3. 隣り合う3角形の二面角が π/2 以下となるときに、滑らかでないと判定する。


方針

  1. 特定の操作によって取りうる2面角の範囲を求める。
  2. 作成したい曲面(至る所滑らかなもの)を式で表す
  3. 方法3のようにして生成される編み物の曲面(3角形の集まり)によって、作りたい曲面が出来るか否か判定する。


懸案事項

  1. 一箇所の操作が大域的な幾何的特徴にどう影響をあたえるか?
    (局所的な構造の集まりだと考えれば十分、ではなさそう。)
  2. 特定の操作によって取りうる2面角の範囲を求める。←まだ考えていない。


こんな感じで出来るかな???

続きはまた明日。