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グラフ理論と位相空間のつながりについて

昨日、第2回Weil予想物語に参加した。


この第一講演でホモロジー群について学んだのですが、
その中で、二つの位相空間同相でないことを示す方法として、
同相な空間であれば必ず同じになる位相不変量が異なることを示すことが挙げられた。

様々な位相不変量が研究されているが、その中で面白いものがあった。


位相空間Xから1点をのぞいた補空間の弧状連結成分の数を調べるというもの。
これによって例えば、[0,1)と円は同相でないことが示される。

これを見て思うのは、グラフ理論のこと。
グラフ理論の文脈でいうグラフとは、頂点と頂点同士を結ぶ辺の集合を示す。

グラフには、切断点と呼ばれるものがある。

切断点英語版(cut vertex)とは、それを除くと残されたグラフが非連結となるような頂点のことである。頂点分離英語版(vertex separator)とは、それらを除くと残されたグラフがそれぞれ小さな断片へとなることで非連結となるような頂点の集まりのことである。k-頂点連結グラフとは、k より少ない数の頂点を除くだけでは依然として連結であるようなグラフのことである。独立集合とは、どの二つの頂点も隣接していないような頂点の集合のことであり、頂点被覆とは、グラフの各辺の端点を含むような頂点の集合のことである。グラフの頂点空間英語版とは、グラフの頂点に対応する基底ベクトルの集合を備えるベクトル空間のことである。

 

頂点 (グラフ理論) - Wikipediaより

 
位相空間というと、まず最初に考えるのは開集合の濃度が(非)可算無限であるようなものだと思う*1が、有限グラフのように、有限個の元(とその間のつながり)を持つようなものについても連結成分について考えることがあるのだなと知った。



確かに、点同士を結ぶ辺を、点と点の間が稠密であることと捉えれば、有限個のグラフについても位相幾何学的な考察ができるかもしれない。


と思って調べてみたら、グラフ理論でよく知られる根上先生の本が出てきた。
(珍しく同姓なのです。)

位相幾何学的グラフ理論入門

位相幾何学的グラフ理論入門

 

 



位相幾何学グラフ理論と呼ばれるらしい。
興味を持ったので読んでみよう。



追記:

ありさんにご指摘いただき、グラフはそもそも一次元単体複体であると教えていただきました。そもそも位相幾何学のはじまりはオイラーによるケーニヒスベルグの橋の問題にあるというのが定説ですし、この点について言及できていなかったのはリサーチが甘かったなぁと深く反省しました。。。



*1:たとえばこちらの講義ノートで空間の分類について例示されているが、いずれも濃度が(非)可算無限のもの。有限の場合は、分類が容易なのかもしれないが・・・。

http://kyokan.ms.u-tokyo.ac.jp/~tsuboi/ki2-2009/lecturenote1.pdf